Շրջան և շրջանագիծ

Հարցեր և առաջադրանքներ․

1.Ի՞նչ է շրջանը, ցույց տուր GEOGEBRA ծրագրով

2. Քանի՞ անգամ է շրջանագծի տրամագիծը մեծ նրա շառավղից։

2 անգամ

3. Ուղիղը հատում է О կենտրոնով շրջանագիծը A և B կետերում։ Ո՞ր կետով պետք է  անցնի այդ ուղիղը, որպեսզի AB հատվածն ունենա հնարավոր ամենամեծ երկարությունը, ցույց տուր GEOGEBRA ծրագրով։

4. Որտե՞ղ է գտնվում այն կետը, որի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից հավասար է շրջանագծի շառավղին։

5. Գծել մի շրջանագիծ և նրա վրա նշել երեք կետ։ Յուրաքանչյուր կետով տանել շառավիղ։

6. Երկու շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը 10սմ է։ Շրջանագծերի շառավիղներն են՝ 3սմ և 5սմ։ Կհատվե՞ն արդյոք այդ շրջանագծերը, ցույց տուր GEOGEBRA ծրագրով։

7.Գծիր շրջանագիծ, ապա գծիր երեք ուղիղ այնպես, որ առաջին ուղիղը չհատի շրջանագիծը, երկրորդը՝ շրջանագծի հետ ունենա մեկ ընդհանուր կետ, իսկ երրորդը՝ երկու ընդհանուր կետ։

8. А և  B կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա։ О- ն շրջանագծի կենտրոնն է։ Համեմատեք OA և OB հատվածները։

9. A կետի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից 7 է, իսկ շրջանագծի շառավիղը 6: Գտնվում է արդյո՞ք А կետը շրջանագծի վրա։

10. А և B կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա, О- ն շրջանագծի

կենտրոնն է։ Ինչպիսի՞սն է АОB եռանկյունը։ Ցույց տուր GEOGEBRA ծրագրով։

Խնդիրներ

1.D կետը գտնվում է AB հատվածի վրա,որի երկարությունը 14 սմ է։Գտեք AD հատվածի երկարությունը,եթե AD=3DB:

AB = 14
AD = 3DB
4x = 14
x = 14 : 4 = 3.5
3 • 3.5 = 10.5
AD = 10.5

2.OC ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան։Գտեք AOC անկյունը,եթե <AOB=155^o և <AOC-ն 15^o -ով մեծ է <COB-ից։

3.Կից անկյունների տարբերությունը 32^o է։ Գտնել այդ անկյունները։

Տնային աշխատանք․

1.AOB անկյունը AOC անկյան մասն է։Հայտնի է,որ <AOC=108^o , <AOB=3<BOC: Գտեք <AOB-ն։

2.Կից անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 40^o -ով։ Գտնել այդ անկյունները։

Խնդիրներ կրկնության համար

1.AD- ն AB հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան կիսորդն է։ Գտեք եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե <ADB=75^o :

ADB = 75
ACD = ASB = 75
x + 2x + 75 = 180
3x + 75 = 180
3x = 180 – 75 = 105
x = 105 : 3 = 35
A = 35
B = 35 • 2 = 70
D = 75 • 2 = 150
30 + 75 = 105
180 – 105 = 75
C = 75

2.Եռանկյան երկու գագաթների արտաքին անկյունների մեծությունները հավասար են 120^o -ի և 110^o -ի։ Գտեք երրորդ գագաթի արտաքին անկյան մեծությունը։

3.Եռանկյան անկյուններից մեկի մեծությունը 20^o է, իսկ արտաքին անկյուններից մեկի մեծությունը 50^o է։ Գտեք եռանկյան մյուս անկյունների մեծությունները։

Տնային աշխատանք․

1.Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե նրանցից մեկը 95^o է։

2x + 95 = 180
2x = 180 -95 = 85
x = 85 : 2 = 42,5

2.Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկի մեծությունը 120^o է։ Գտեք այդ եռանկյան անկյունների մեծությունները։

180 – 120 = 60
60 + 60 = 120
120 + 60 = 180

Ուղղանկյուն եռանկյուններ

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

1) C = 90
B = 60
BA = 10
90 + 60 = 150
180 – 150 = 30
A = 30
10 : 2 = 5
BC = 5

2) C = 90
90 : 2 = 45
B = 45
D = 90
A = 45
C/2 = A = 45
CD = AD = 8
AB = 2 • 8 = 16

3)AE = 26
EC = ?
A = 30
E = 60
C = 90
60 + 90 = 150
180 – 150 = 30
<EBC = 30
AE = BE = 26
26 : 2 = 13

4) C = 90
CD = 3,5
BC = CD
A = 30
AB = AD = 7
BD = 7
BC = CD
30 + 90 = 120
180 – 120 = 60
B = 60
D = 60

5)C = 90
BE = 9
<P = 180 – 150 = 30
<PBC = 60
90 – 60 = 30
<CBE = 30
9 : 2 = 4,5
CE = 4,5
PE = 9 • 2 = 18
18 – 4,5 = 13,5

6) C = 90
AA1 = 20
B = 30
CAB = 60
60 : 2 = 30
CA = 20 : 2 = 10

Կրկնություն: Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշները

Կրկնություն․ Անկյուն,անկյան չափումը

Տնային աշխատանք․

Դասագիրք․

Խնդիր 66,73

ա) <ABC = 111°
<ABD = 180 – 111 = 69°

բ) <ABC = 90°
<ABD = 180 – 90 = 90°
Ուղիղ անկյան կից անկյունը հավասար է։

գ)<ABC = 15°
<ABD = 180 – 15 = 165°

<COB = 148°
148 : 2 = 74°
<BOD = <COD = 74°
<AOB = 180°
<AOC = 180 – 148 = 32°
<AOD = 74 + 32 = 106°

Հատվածի միջնուղղահայացի և անկյան կիսորդի հատկությունները

Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

Պետք է ապացուցել, որ AC և BC հատվածները հավասար են: Դրանում կարելի է համոզվել, եթե ապացուցեք, որ հավասար են BEC և AEC ուղղանկյուն եռանկյունները:

Ըստ միջնուղղահայացի սահմանման՝ E անկյունը ուղիղ է և AE=BE: Քանի որ CE-ն ընդհանուր կողմ է, ապա դիտարկվող եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (երկու կողմեր և դրանցով կազմված անկյուններ):

Հետևաբար, հավասար են նաև եռանկյունների ներքնաձիգները:

Անկյան կիսորդի հատկությունը․

Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

Ապացուցենք այս թեորեմը: Նայիր վերևի նկարին:

Կիսորդով առաջացած եռանկյունների անկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Իրոք, մի զույգի անկյունները հավասար են՝ ըստ կիսորդի սահմանման, մյուս զույգի անկյունները 90 աստիճան են (կետի հեռավորությունները ուղիղներից): Հետևաբար, հավասար է նաև երրորդ զույգի անկյունները (անկյունների գումարը պետք է 180° լինի):

Քանի որ դիտարկվող ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգը ընդհանուր է (կիսորդի վրա գտնվող կողմը), ապա եռանկյունները հավասար են` ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի (կողմ և առընթեր երկու անկյուններ): Հետևաբար, հավասար են նաև համապատասխան էջերը:

Առաջադրանքներ․

Դասագիրք․

Խնդիր 313, 314

AB + BC = 17
BC – AB = 1
AB = ?
BC = 1 + AB
AB + AB + 1 = 17
2AB = 16
AB = 8

AD = ?
DM = 6սմ
<CAD = 30 -> AD = 2DM = 12

Տնային աշխատանք․

Խնդիր 315

CE + CD = 31սմ
CE – CD =3սմ
e + d = 31
d – e = 3
e + d + d – e = 31 + 3
2d = 34
d = 34 : 2 = 14
e + 17 = 31
31 – 17 = 14
CD = e

Եռանկյան անկյունների գումարը

Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր սուր անկյուն հավասար է 45°-ի:

Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են 60°-ի:

Ցանկացած եռանկյան մեջ կամ բոլոր անկյունները սուր են, կամ անկյուններից երկուսը սուր են, իսկ երրորդը՝ բութ կամ ուղիղ:

Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն արտաքին անկյանը: 

∡BML=∡K+∡L

Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ․

Անկյուններից կախված գոյություն ունեն եռանկյունների երեք տեսակներ:

KLM եռանկյան բոլոր անկյունները սուր են:

KNM եռանկյան անկյուններից մեկն ուղիղ է՝ K=90°

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր:

Վերևի նկարում MN-ը ներքնաձիգն է, իսկ MK-ն և KN-ը՝ էջերը:

KLM եռանկյան անկյուններից մեկը բութ է:

Տնային աշխատանք․

1.Եռանկյունն ունի 21 աստիճանի երկու անկյուն:

Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

2.Տրված է NEC եռանկյունը: ∠N=27°, ∠E=99°: Որոշիր ∠C անկյան մեծությունը:

∠C = 180- (27 + 99) = 54°

3.Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 72° է: Որոշիր այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը: 

180 – 72 = 108
108 : 2 = 54

Զուգահեռ ուղիղների հատկությունները, զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը

∡2 = 180 – 65 = 115°
Քանի որ ∡2-ի խաչադիր անկյունը նույնպես 115° է, հետևաբար a∥b:
∡3 = 180 – 121 = 59°
Քանի որ a∥b, հետևաբար ∡1 = ∡3 = 59°։

∡ABD = 180 – 102 = 78°
Քանի որ ∡ABD-ի խաչադիր անկյունը նույնպես 78° է, հետևաբար AE∥BD։
AE∥BD, հետևաբար ∡EAD = 48°
∡BAD = 180 – (78 + 48) = 54°
∡ADF = 180 – 48 = 132°
∡ADE = 132 : 2 = 66°
∡AED = 180 – (48 + 66) = 66°

°
∡

Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները

Զուգահեռ ուղիղների սահմանումը․

Հարթության վրա գտնվող a և b ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք չեն հատվում: Այդ հանգամանքը նշանակում են այսպես՝ a∥b:

Եթե հարթության վրա գտնվող երկու ուղիղներ ուղղահայաց են նույն ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են:   

Հիշենք, մեզ հայտնի հատվող ուղիղների կազմած անկյունների անվանումներն ու հատկությունները:

Հակադիր անկյունները հավասար են՝∡1=∡3;∡2=∡4

Կից անկյունների գումարը 180° է՝∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=180°

Երկու ուղիղներ երրորդ ուղիղով հատելիս,առաջացած անկյունները կոչվում են այսպես.

Խաչադիր անկյուններ՝∡3 и ∡5;∡2 и ∡8

Համապատասխան անկյուններ՝∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7

Միակողմանի անկյուններ՝∡3и∡8;∡2и∡5

Այս անկյունները կօգնեն ձևակերպել a և b ուղիղների զուգահեռությունը:

Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները․

Եթե երկու ուղիղներ հատվում են երրորդով, և խաչադիր կամ համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, ապա ուղիղները զուգահեռ են:

Սրանք, ըստ էության, երեք առանձին հայտանիշներ են, բայց մենք դրանք միավորեցինք մեկ հայտանիշի մեջ:

Առաջադրանք․

1․ ∡3 = ∡6 = 180 – 70 = 110°
∡7 = 70°
∡1 = ∡4 = 180 – 110 = 70°
∡3 = ∡6 = 110°
∡2 + 70° = 180°
∡2 = 110°
∡2 = ∡5 = 110°

2. ∡6 = 140°
∡5 = ∡7 = 180 – 140 = 40°
∡2 = ∡6 = 140°
∡3 = 140°
∡4 = ∡7 = 40°
∡1 = ∡5 = 40°

3. ∡1, ∡2, ∡3 = ∡4, ∡5, ∡6, ∡7 = 90°

4. ∡1 + ∡2 = 180°
∡1 – ∡2 = 80°
∡1 = ∡2 + 80°
∡2 + 80° + ∡2 = 180°
2 ∡2 = 180 – 80 = 100°
∡2 = 100 : 2 = 50°
∡1 = 50 + 80 = 130°
∡1 = ∡4 = ∡5 = ∡8 = 130°
∡2 = ∡3 = ∡6 = ∡7 = 50°

5. ∡1 + ∡2 = 180°
∡1 = 180 – ∡2
∡1 = 0,5 • ∡2
180 – ∡2 = 0,5 • ∡2
0,5 • ∡2 + ∡2 = 180
1/2 • ∡2 + ∡2 = 180
∡2/2 + ∡2 = 180
(∡2 + 2∡2)/2 = 180
(∡2 + 2∡2) : 2 = 180
∡2 + 2∡2 = 180 • 2
3 ∡2 = 360
∡2 = 360 : 3 = 120
∡2 = 120°
∡1 = 180 – 120 = 60°

6. ∡1 = 180 – ∡2
∡1 = 5 • ∡2
180 – ∡2 = 5∡2
5∡2 + ∡2 = 180
6∡2 = 180
∡2 = 180 : 6 = 30°
∡1 = 5 • 30 = 150

7. ∡1 : ∡2 = 4 : 5
5∡1 = 4∡2
∡1 = 4∡2 : 5
∡1 + ∡2 = 180
∡1 = 180 – ∡2
4∡2 : 5 = 180 – ∡2
4∡2/5 + ∡2 = 180
(4∡2 + 5∡2)/5 = 180
9∡2/5 = 180
9∡2 = 180 • 5 = 900
∡2 = 900 : 9 = 100°
∡1 = 180 – 100 = 80°