Կոորդինատային հարթություն

Իրական կյանքի բազմաթիվ իրավիճակներում պահանջվող օբյեկտի դիրքը ճշգրիտ նկարագրելու համար մենք օգտագործում ենք երկու թիվ (կամ այլ նշաններ):

Կինոթատրոնում հանդիսատեսի տեղը նկարագրվում է շարքի և նստատեղի համարով:  

Շախմատի տախտակի վրա խաղաքարերի դիրքը նկարագրվում է շարքի և սյունակի համարներով:

Ցանկացած քարտեզ (կամ գլոբուս) բաժանված է քառակուսիների, և շախմատի տախտակի պես յուրաքանչյուր քառակուսի նկարագրվում է երկու թվով:

Համակարգչի էկրանի յուրաքանչյուր կետը տրվում է երկու թվերով:

Կոորդինատային համակարգ

Դեռ XVII-րդ դարում ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Ռենե Դեկարտը (1596−1650) հարթության վրա կետի դիրքը նկարագրելու համար առաջարկեց երկու կոորդինատների մեթոդը: Այդ պատճառով կոորդինատային համակարգը կոչվում է նրա անունով:

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը բաղկացած է.

1. Երկու փոխուղղահայաց ուղիղներից, որոնց վրա նշված են թվերի աճման ուղղությունները: Հորիզոնական ուղիղը կոչվում է Ox կամ աբսցիսների առանցք: Ուղղահայաց ուղիղը կոչվում է Oy կամ օրդինատների առանցք:  

2. Ուղիղների հատման կետը կոչվում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ: Սովորաբար այն նշանակում են O տառով:

3. Յուրաքանչյուր ուղղի վրա նշված է միավոր երկարությամբ հատված:

Հարթության յուրաքանչյուր կետի համար գտնում են երկու կոորդինատ՝ x-ը և y-ը (աբսցիսը և օրդինատը) և գրում այսպես՝ A(xA;yA):

Վերևի նկարի վրա ցուցադրված է A(2;4) կետը: A կետի աբսցիսը հավասար է 2-ի, իսկ օրդինատը՝ 4-ի:

Եթե հարթության վրա տրված է կոորդինատային համակարգ, ապա հարթությունը կոչվում է կոորդինատային հարթություն:

Կոորդինատային առանցքները հարթությունը բաժանում են 4 մասերի, որոնք կոչվում են քառորդներ:

I-ին քառորդում են գտնվում աբսցիսների և օրդինատների առանցքների դրական մասերը:

II-րդ քառորդում գտնվում են աբսցիսների առանցքի բացասական և օրդինատների առանցքի դրական մասերը:

III-րդ քառորդում են աբսցիսների և օրդինատների առանցքների բացասական մասերը:

IV-րդ քառորդում գտնվում են աբսցիսների առանցքի դրական և օրդինատների առանցքի բացասական մասերը:

Առաջադրանքներ․

1) Ի՞նչ կենդանի է պատկերված.

 (- 9; 5),(- 7; 5), (- 6; 6),(- 5; 6), (- 4; 7), (- 4; 6), (- 1; 3), (8; 3),(10; 1), (10; -4), (9; -5), (9; -1),(7; -7), (5; -7), (6; -6), (6; -4), (5; -2), (5; -1), (3; -2), (0; -1), (- 3; -2), (- 3; -7),(- 5; -7), (- 4; -6), (- 4; -1), (- 6; 3), (- 9; 4), (- 9; 5).

 Աչք` (- 6; 5)

2) Ի՞նչ կենդանի է պատկերված.

(- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7;4), (9;3), (9; 1), (8; -1),(8; 1), (7; 1), (7; -7), (6; -7), (6; -2), (4; -1), (- 5; -1), (-5;7), (- 6;- 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4),(- 9; 4), (- 9; 6). 

Աչք` (- 6; 7).

Տնային աշխատանք․

1) Ի՞նչ կենդանի է պատկերված. 

(14;-3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10),(- 2; 10), (- 8; 5,5),(- 8; 3),  (- 7; 2), (- 5; 3),(- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; -3), (- 5; -1), (- 7; -2), (-5; -10),  (- 2; -11), (- 2; -8,5), (- 4; -8), (- 4; -4), (0; -7,5), (3; -5).

 Աչք` (- 2; 7).

Բազմություններ

Տնային աշխատանք․

ա) ———–

Եղբայրը և քույրը միասին լրացրին ամբողջ խաչբառը, որը պարունակում էր 60 հարց: Եղբայրը գտավ պատասխաններից 38-ը, իսկ երկուսով միասին գտան 12 պատասխան: ————-

Բազմություններ

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:

1,2,3,4,5,…

Բնական թվերից, և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,…, կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջ թվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:

Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Հասկանալի է, որ՝ N -ը Z -ի ենթաբազմություն է, իսկ Z -ը՝ Q -ի: N⊂Z; Z⊂Q

Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:

Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,…,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,…:

Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝

A={a1;a2;…;an}

Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում ∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:

Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:

Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:

Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:

Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:

Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ  բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:

Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:

Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B:

X և Y բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են  X և Y   բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝ X∪Y:

Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ: Նկարում բազմությունների միավորումը ներկված է կապույտ գույնով:

X և Y բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ X, և՛ Y բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ X∩Y

Նկարում բազմությունների հատումը ներկված է նարնջագույնով:

Օրինակ`

Գտնենք A և B բազմությունների հատումը, եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}

Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝

A∩B={2,4,6,8}

Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

Տնային աշխատանք․

366,367,378

ա)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {2, 3}

բ)
C = {2, 3, 6, 7, 8}
A ∩ C = C ∩ B

գ) A⊂B = {2, 3}

ա) N 
բ) Z
գ) Q
դ) I
ե) R

ա) սխալ
բ) ճիշտ
գ) սխալ
դ) ճիշտ
ե) սխալ
զ) ճիշտ
է) ճիշտ

Թվային ֆունկցիա, տրման եղանակները

Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:  

x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք:X բազմությունը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:

y=f(x) բանաձևում՝

x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը,

y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,

f-ը կանոնն է, որով ամեն x արգումենտի համար գտնվում է ֆունկցիայի y արժեքը:

Օրինակ`

Ֆունկցիայի օրինակ է x և y փոփոխականների միջև y=2x առնչությունը:

Այս դեպքում կանոնը հետևյալն է՝ ցանկացած x թիվ պետք է կրկնապատկել, ստացված կրկնապատիկ թիվը՝ y=2x-ը կլինի ֆունկցիայի արժեքը x կետում:

Քանի որ ցանկացած թիվ կարելի է կրկնապատկել, ապա այս ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ X բազմությունը, ամբողջ թվային առանցքն է:

Ֆունկցիայի տրման եղանակները․

1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:

Օրինակ՝

y=kx ուղիղ գիծ:  

2. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով:

x	1	2	3	4
y	1	4	9	16

3. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝

(1;2),(2;4),(3;6)

Առաջադրանքներ․

Դասագիրք․

418,419,423,426

Տնային աշխատանք․

421,422,424

ա)

y(6)
y = 1 – 4 • 6
y = -23

y(-7)
y = 1 – 4 • (-7)
y = 1 – (-28)
y = 29

y(0,5)
y = 1 – 4 • 0,5
y = 1 – 2
y = -1

y(2/3)
y = 1 – 4 • 2/3 = 1 – 8/12 = 1 – 2/3
y = 1 – 2/3 = 1/3

բ) y(5) = 19, y(-2) = 9, y(0) = 1, y(-0,5) = 2 , y(-3/4) = 4

y = 1 – 4 • 5
y = -19 (սխալ)

y = 1 – 4 • (-2)
y = 9 (ճիշտ)

y = 1 – 4 • 0
y = 1 (ճիշտ)

y = 1 – 4 • (-0,5)
y = 3 (սխալ)

y = 1 – 4 • (-3/4)
y = 4 (ճիշտ)

ա) y = 2x
բ) y = x – 2
գ) y = x + 5
դ) y = 4x
ե)y = x/7
զ) y = 2x²

y = x²

y = -1²
y = -2

y = -0,8²
y = 0,64

y = -0,6²
y = 0,36

y = -0,4²
y = 0,16

y = -0,2²
y = 0,04

y = 0²
y = 0

y = 0,2²
y = 0,04

y = 0,4²
y = 0,16

y = 0,6²
y = 0,36

y = 0,8
y = 0,64

y = 1²
y = 2

Ուղիղ և հակադարձ համեմատականություններ

Տնային աշխատանք․

1կգ մետաղ – 5/2կգ հանք․
4տ մետաղ – ?հանք

4տ մետաղ = 4000կգ
5/2 = 2,5կգ
4000 • 2,5 = 10000կգ = 10տ

ա) V = 60կմ/ժ
40վ = 40/3600ժ = 1/90ժ
30վ = 30/3600ժ = 1/120ժ
S = V • T
S = 60 • 1/90 = 60/90= 2/3կմ
V = S : T
V = 2/3 : 1/120 = 240/3 = 80
Պատ․՝ 80կմ/ժ

բ) V = 60կմ/ժ
1ր =1/60ժ
S = 60 • 1/60 = 1կմ
V = 50կմ/ժ
T = 1/50ժ
Պատ․՝ 1ր 12վ:

20 աշխ․ – 30օր
?աշխ․ – 5օր

30 ։ 5 = 6
20 • 6 = 120
Պատ․՝ 120 աշխ․։

Ուղիղ և հակադարձ համեմատականություններ

Երկու մեծություններ անվանում են ուղիղ համեմատական,եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս մյուսը մեծանում է նույնքան անգամ։

Երկու մեծություններ անվանում են հակադարձ համեմատական,եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս մյուսը նույնքան անգամ փոքրանում է։

Տնային աշխատանք․

Խնդիր 400,402,406

6կգ միրգ – 4կգ շաք․
?կգ միրգ – 12կգ շաք․
6 – 4 = 2
12 + 2 = 14
Պատ․՝ 14կգ միրգ։

a1 AB-ն անցնում է 3ժ 80կմ/ժ արագությամբ
a2 AB-ն անցնում է ?ժ 60կմ/ժ արագությամբ

T = S : V ———————————–

8 արշին մահուդ – 30 ռուբ
15 արշին մահուդ – ? ռուբ

30 : 8 = 3,75
15 • 3,75 = 56,25
Պատ․՝ 56,25 ռուբլի:

Բազմություններ

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:

1,2,3,4,5,…

Բնական թվերից, և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,…, կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջթվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:

Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Հասկանալի է, որ՝ N -ը Z -ի ենթաբազմություն է, իսկ Z -ը՝ Q -ի: N⊂Z; Z⊂Q

Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:

Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,…,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,…:

Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝

A={a1;a2;…;an}

Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում ∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:

Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:

Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:

Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:

Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:

Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ  բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:

Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:

Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B:

X և Y բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են  X և Y   բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝ X∪Y:

Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ: Նկարում բազմությունների միավորումը ներկված է կապույտ գույնով:

X և Y բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ X, և՛ Y բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ X∩Y

Նկարում բազմությունների հատումը ներկված է նարնջագույնով:

Օրինակ`

Գտնենք A և B բազմությունների հատումը, եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}

Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝

A∩B={2,4,6,8}

Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

Առաջադրանքներ․

372,375,377

Տնային աշխատանք․

366,367,378

Մեկ անհայտով գծային հավասարումներ

Լուծի՛ր առաջադրանք 1-ի ժա-ից մինչև ժզ․

Լուծի՛ր առաջադրանք 4-ի I սյունը․

ա) x + 5 = -3
x = -3 – 5
x = -8

բ) 20 – x = -4
-x = -4 – 20
-x = -24
x = 24

գ) -3 + x = 0
x =

դ) x – (-8) = 5

ե) 2x + 45 = 6x + 17

զ) 5x + 3x – 10 = 14

է) 15x – 9x – 2 = 10

ը) -3 – 5x + 20 + 2x = 5

թ) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3) =

ժ) 6

Տնային աշխատանք․

Առաջադրանք 1-ի ա-ժ, 4-ի II սյուն

Մեկ անհայտով գծային հավասարումներ

Տնային աշխատանք․

առաջադրանք 16-24

16) -2x = 12
17) -6x = -18
18) 5x + 3 = 28
19) 7y + 5 = 26
20) 9z -5 = 31
24) 7x – 8 = 41

Խորանարդների գումարը և տարբերությունը

Խորանարդների գումարի բանաձևը․ a³ + b³ =(a+b)(a²-ab+b²)

a²-ab+b² բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի տարբերության թերի քառակուսի․

Երկու թվերի խորանարդների գումարը հավասար է այդ թվերի գումարի և նրանց տարբերության թերի քառակուսու արտադրյալին։

Խորանարդների տարբերության բանաձևը․ a³ — b³ =(a-b)(a²+ab+b²)

a²+ab+b² բազմանդամն անվանում են a-ի և b-ի գումարի թերի քառակուսի․

Երկու թվերի խորանարդների տարբերությունը հավասար է այդ թվերի տարբերության և նրանց գումարի թերի քառակուսու արտադրյալին։

Տնային աշխատանք․

1.Երկանդամը վերլուծեք արտադրիչների․

2.Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով․