Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները

Զուգահեռ ուղիղների սահմանումը․

Հարթության վրա գտնվող a և b ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք չեն հատվում: Այդ հանգամանքը նշանակում են այսպես՝ a∥b:

Եթե հարթության վրա գտնվող երկու ուղիղներ ուղղահայաց են նույն ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են:   

Հիշենք, մեզ հայտնի հատվող ուղիղների կազմած անկյունների անվանումներն ու հատկությունները:

Հակադիր անկյունները հավասար են՝∡1=∡3;∡2=∡4

Կից անկյունների գումարը 180° է՝∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=180°

Երկու ուղիղներ երրորդ ուղիղով հատելիս,առաջացած անկյունները կոչվում են այսպես.

Խաչադիր անկյուններ՝∡3 и ∡5;∡2 и ∡8

Համապատասխան անկյուններ՝∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7

Միակողմանի անկյուններ՝∡3и∡8;∡2и∡5

Այս անկյունները կօգնեն ձևակերպել a և b ուղիղների զուգահեռությունը:

Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները․

Եթե երկու ուղիղներ հատվում են երրորդով, և խաչադիր կամ համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, ապա ուղիղները զուգահեռ են:

Սրանք, ըստ էության, երեք առանձին հայտանիշներ են, բայց մենք դրանք միավորեցինք մեկ հայտանիշի մեջ:

Առաջադրանք․

1․ ∡3 = ∡6 = 180 – 70 = 110°
∡7 = 70°
∡1 = ∡4 = 180 – 110 = 70°
∡3 = ∡6 = 110°
∡2 + 70° = 180°
∡2 = 110°
∡2 = ∡5 = 110°

2. ∡6 = 140°
∡5 = ∡7 = 180 – 140 = 40°
∡2 = ∡6 = 140°
∡3 = 140°
∡4 = ∡7 = 40°
∡1 = ∡5 = 40°

3. ∡1, ∡2, ∡3 = ∡4, ∡5, ∡6, ∡7 = 90°

4. ∡1 + ∡2 = 180°
∡1 – ∡2 = 80°
∡1 = ∡2 + 80°
∡2 + 80° + ∡2 = 180°
2 ∡2 = 180 – 80 = 100°
∡2 = 100 : 2 = 50°
∡1 = 50 + 80 = 130°
∡1 = ∡4 = ∡5 = ∡8 = 130°
∡2 = ∡3 = ∡6 = ∡7 = 50°

5. ∡1 + ∡2 = 180°
∡1 = 180 – ∡2
∡1 = 0,5 • ∡2
180 – ∡2 = 0,5 • ∡2
0,5 • ∡2 + ∡2 = 180
1/2 • ∡2 + ∡2 = 180
∡2/2 + ∡2 = 180
(∡2 + 2∡2)/2 = 180
(∡2 + 2∡2) : 2 = 180
∡2 + 2∡2 = 180 • 2
3 ∡2 = 360
∡2 = 360 : 3 = 120
∡2 = 120°
∡1 = 180 – 120 = 60°

6. ∡1 = 180 – ∡2
∡1 = 5 • ∡2
180 – ∡2 = 5∡2
5∡2 + ∡2 = 180
6∡2 = 180
∡2 = 180 : 6 = 30°
∡1 = 5 • 30 = 150

7. ∡1 : ∡2 = 4 : 5
5∡1 = 4∡2
∡1 = 4∡2 : 5
∡1 + ∡2 = 180
∡1 = 180 – ∡2
4∡2 : 5 = 180 – ∡2
4∡2/5 + ∡2 = 180
(4∡2 + 5∡2)/5 = 180
9∡2/5 = 180
9∡2 = 180 • 5 = 900
∡2 = 900 : 9 = 100°
∡1 = 180 – 100 = 80°

Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր

ԳՈՒՄԱՐԻ ԵՎ ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ ՔԱՌԱԿՈՒՍԻՆ․

Որոշ դեպքերում բազմանդամների բազմապատկումը կարելի է ավելի կարճ կատարել՝ օգտվելով կրճատ բազմապատկման բանաձևերից:

1. Գումարի քառակուսու բանաձևը՝ (a+b)²=a²+2ab+b²

Երկու թվերի գումարի քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուն գումարած առաջին և երկրորդ թվերի արտադրյալի կրկնապատիկը, գումարած երկրորդ թվի քառակուսին՝

(a+b)²=(a+b)⋅(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

2. Տարբերության քառակուսու բանաձևը՝ (a−b)²=a²−2ab+b²

Երկու թվերի տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին թվի քառակուսուց հանած առաջին և երկրորդ թվերի արտադրյալի կրկնապատիկը, գումարած երկրորդ թվի քառակուսին՝

(a−b)²=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+a⋅(−b)−b⋅a−b⋅(−b)=a²−ab−ba+b²=a²−2ab+b²

Օրինակ․

1. Գումարի քառակուսու բանաձևի օգնությամբ հաշվենք՝

(x+3)²=x²+2⋅x⋅3+3²=x²+6x+9

Առանց բանաձևի (բազմանդամների բազմապատկման միջոցով)՝

(x+3)²=(x+3)⋅(x+3)=x⋅x+x⋅3+3⋅x+3⋅3=x²+3x+3x+9=x²+6x+9:

2. Տարբերության քառակուսու բանաձևի օգնությամբ հաշվենք՝

(x−3)²=x²−2⋅x⋅3+3²=x²−6x+9

Առանց բանաձևի (բազմանդամների բազմապատկման միջոցով)՝

(x−3)²=(x−3)⋅(x−3)=x⋅x+x⋅(−3)−3⋅x−3⋅(−3)=x²−3x−3x+9=x²−6x+9

Առաջադրանքներ․

1. Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի․

1) (m + n)² = (m + n) • (m + n) = m • m + m • n + n • m + n • n = m² + 2mn + n²
2) (p – q)² = p² – 2pq + q²
3) (c – d)² = (c – d) • (c – d) = c • c + c • (-d) + (-d) • c + (-d) • (-d) = c² + (-cd) + (-dc) + d² = c² – cd – dc + d² = c² – 2cd + d²
4) (2 + a)² = 2² + 2 • 2a + a² = 4 + 4a + a²
5) (3 – b)² = 3² – 2 • 3b + b² = 9 – 6b + b²
6) (x + 5)² = x² + 2x • 5 + 25 = x² + 10x + 25
7) (x + 1)² = x² + 2x + 1
8) (3a – b)² = (3a)² – 2 • 3a • b + b² = 9a² – 6ab + b²
9) (5z + t)² = (5z)² + 2 • 5z • t + t² = 25z² + 10zt + t²
10) (a – 4)² = a² – 8a + 16
11) (3x – 2y)² = 9x² – 2 • 3x • 2y + 4y² = 9x² – 12xy + 4y²
12) (6a – 4b)² = 36a² – 2 • 6a • 4b + 16b² = 36a² – 48ab + 16b²
13) (a² -b)² = (a² – b) • (a² – b) = a⁴ – a²b – ba² + b² = a⁴ – 2a²b + b²
14) (c³ – 1)² = (c³ – 1) • (c³ – 1) = c⁶ – c³ – c³ + 1 = c⁶ – 2c³ + 1
15) (a² + 1)² = (a² + 1) • (a² + 1) = a⁴ + a² + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1
16) (x² + y²)² = (x² + y²) • (x² + y²) = x⁴ + 2x²y² + y²
17) (z³ – u³)² = z⁶ – 2z³u³ + u⁶
18 (m³ + n²)² = m⁶ + 2m³n² + n⁴
19) (2a³ – 3b)² = 4a⁶ – 12a³b + 9b²
20) (a + a³)² = a² + 2a⁴ + a⁶
21) (x – 1/5)² = x² – 2x/5 + 1/25
22) (x/2 – y/3)² = x²/4 – 2x/2 • y/3 + y²/9 = x²/4 – xy/3 + y²/9
23) (a/4 + b/3)² = a²/16 + 2a/4 • b/3 + b²/9 = a²/16 + ab/6 + b²/9
24) (a – 1/2)² = a² – 2a • 1/2 + 1/4 = a² – a + 1/4
25) (b + 1/3)² = b² + 1/9 + 2b1/3
26) (1/2n + 3p)² = 1/4n² + 2 • 1/2n3p + 9p
27) (2 1/3m + 1 1/2n)² = 49/9m² + 2 • 7/3m3/2n + 9/4n²
28) (1/4k + 6p)² = 1/16k² + 2 • 1/4k6p + 36p²
29) (3/4a² – 0,5b³)² = 9/16a⁴ – 2 • 3/4a²1/2b³ + 0,125b⁶

ա) x² + 2xy + y² = (x + y)²
բ) a² + 4ab + 4b² = (a + 2b)²
գ) 9m² + 6mn + n² = (3m + n)²
դ) 16p² + 40pq + 25q² = (4p + 5q)²
ե) x² + 2x + 1 = (x + 1)²
զ) 9 + 6a + a² = (3 + a)²
է) 16 + 8p + p² = (4 + p)²
ը) 4m² + 9n² + 12mn = (2m + 3n)²
թ) x⁴ + 2x²y³ + y⁶ = (x² + y³)²
ժ) a⁶ + 2a³b³ + b⁶ = (a³ + b³)²

2. Բազմանդամը ներկայացրեք տարբերության քառակուսու տեսքով․(ա,գ,ե․․․)

ա) a² − 2ab + b²

բ)4x² − 4xy + y²

գ)9m² − 6m + 1;

դ) 25 − 30c + 9c²;
ե) 16p² − 56pq + 49q²
զ )100a² + 25b² − 100ab
է)x⁴ − 6x²y + 9y²
ը)16 + 9×6 − 24×3

3. C և D տառերի փոխարեն ընտրեք այնպիսի միանդամներ,որ տեղի ունենա հավասարությունը․(ա,գ)

ա (a − C)² = a² − 4a + 4;

բ) (C − y)²= 4x² − D + y²
գ) (C − D)²= 9m² − 12mn + 4n²
դ) (C + 3q)² = D − 24pq + 9q²

A long and healty life

Now read the text again and listen. Answer thw questions.

1 Does the American writer giva a advice for your mind or your body?
American writer give a advice for your mind.

2 Why do the women in Okinawa live a long time?
They do some exercise every day, they don’t have much stress in their lives and, in general, they are positive and active.

3 Why is seaweed good for you?
This contains many different vitamins and minerals and is good for your hear.

4 Where does the fat come from in the Mediterranean diet?

a. Read the rule. Then underline the countable nouns and circle the uncountable nouns is examples 1-4.

1. Eat an apple or a carrot.
2. They do some exercise every day.
3. Some years ago…
4. The Okinawa women eat fish and green vegetabeles.

b. Complete the lists with words from Exercise 2.

Apples, carronts, eggs, meat, bread, tomatoes, orange juice, beans, onions, sugar, mineral water, rice

Countable nouns	Uncountable nouns
vegetables apples carrots eggs tomatoes beans onions mineral water	fruit meat bread orange juice sugar mineral water rice

d. Complete the sentences with a, an and some.

2 I’m going to the shops. Mum needs some meat and an eggs.
3 This is a lovely apple!
4 An onion is a vegetable.
5 Have some fruit. There are a nice bananas in the kitchen.
6 She needs some bread, some cheese and a tomato to make a sandwich.
7 I’m a bit hungry — I think I’ll eat an orange.

Բառեր վրացերենով

ընտանիք – օջախի
մայրիկ – դեդա
հայրիկ – մամա
աղջիկ – գոգո
տղա – բիճի
քույր – դա
եղբայր – ձմա
այո – դիախ(կի)
ոչ – արա

Աղջիկ և տղա – գոգո դա բիճի
Մայրիկ և հայրիկ – Դեդա դա մամա